一道高中数学题的思考?

By xia0

#0x00 写在前面

突然在邮件中收到Quora中这样一个问题”What does X equal in $\sqrt{x+15} + \sqrt{x} = 15$? “ 凭着曾经对数学的热爱,我点了进去。顺便学习了点知识。

#0x01 你会怎么解决?

不得不承认,这种题型在初高中时候还是蛮常见的,在我的脑海里,也别无他法,一步一步去根号解方程吧。但都知道,同时平方带来就是可能会升高次数,有时候拿到答案还是挺繁琐的,至少计算上来说是这样的。

#0x02 方法1 平方法

通常解决这个问题的方法是将方程的两边平方并简化,并保持平方,直到方程中没有平方根

$\sqrt{x+15} + \sqrt{x} = 15$

$(\sqrt{x+15} + \sqrt{x})^2 = 15^2$

$x+15 + 2\sqrt{(x+15)x} + x = 225$

$2\sqrt{(x+15)x} = 210 - 2x$

$\sqrt{(x+15)x} = 105 - x$

$(\sqrt{(x+15)x})^2 = (105 - x)^2$

$x^2 + 15x = 11025 - 210x +x^2$

$225x = 11025$

$ x = 49$
思维过程很清楚,但明显计算上有点繁琐。

#0x03 方法2 拼凑法

不一定可靠,但一定最快。大多情况下,都是开方后是整数。所以每个完全平方数的序列($1^22^23^3…6^27^28^2… => 1 4 9 16 25 36 49 64 …$)

哪两个数相差15呢?很明显64 - 49 = 15,也许你觉得这很不靠谱,其实至少对于开方是整数的结果来说是很快的,觉得慢主要是你还不熟练。因为并不是一个一个的去试验,因为相邻之差是递增且快。类似二叉树来查找会很快得出结果。

$\sqrt{49 + 15} + \sqrt{49} = 15$

$7 + 8 = 15$
最快,但不一定可靠。

#0x04 方法3 平方差法

暂且称作平方差法吧,这个方法是我最推荐的,既快又准。
原式:$\sqrt{x+15} + \sqrt{x} = 15$ (1)

设 $\sqrt{x+15} - \sqrt{x} = k$

又 $(\sqrt{x+15} - \sqrt{x})(\sqrt{x+15} + \sqrt{x})= 15k$

解得: $k = 1$

所以 $\sqrt{x+15} - \sqrt{x} = 1$ (2)

然后(1)+ (2): $2\sqrt{x+15} = 16$

解得: $x = 49$

多么棒的一个方法 I love it!

#0x05 我与数学

从小数学就比语文好的我,数学确实给了我很多自信,想破头皮的去思考一个一个的题。一如既往的热爱,以致于高考只填了一个专业–数学。由于种种原因,没能选上,去来到了计算机相关的专业。计算机科学同样是一个迷人的世界,那种理解本质,控制计算机的运行是让人着迷的。在反馈上来说,计算机比做数学得到的反馈更真实,快速。做数学题的时候总是找不到方向,得到的反馈少且慢,容易让人沮丧,想必这也是大多人讨厌数学的原因之一吧。虽然现在更热爱计算机,但心底里仍然有一个数学的种子。以至于很多时候看到感兴趣的题也会拿上纸笔算一算,知乎上也关注了相关话题,还有一个自己特别骄傲的回答,关于高中数列的,具体情况移步高考数学数列放缩总结技巧有哪些?
相信不管是现在还是将来,数学都是我最深处的支持。